例題集

流体の動力学(10) ベンチュリ管

適用レベル   難易度: ★★★
図に示すようなベンチュリ管の中を水が流れている. 絞り部の上流側①とのど部②との圧力差が水銀柱$h$であった. 断面①の面積を$A_1$,断面②の面積$A_2$,水の密度を$\rho_w$,水銀の密度を$\rho_m$として,管内に流れる理論体積流量$Q$が次式で表現されることを示せ. ただし,損失は無視してよい. \[Q=\frac{A_2}{\sqrt{1-(\frac{A_2}{A_1})^2}}\sqrt{2gh(\frac{\rho_m}{\rho_w}-1)}\] \[またはQ=\frac{A_1}{\sqrt{(\frac{A_1}{A_2})^2-1}}\sqrt{2gh(\frac{\rho_m}{\rho_w}-1)}\] %=image:/media/2015/01/15/142125813480672800.png: $(1)$ 断面①の流速を$V_1$と断面②の流速を$V_2$とおいて,①と②の間の連続の式を記述せよ. $(2)$ 同じく$V_1$,$V_2$を用いて,①と②の間のベルヌーイの式を記述せよ. $(3)$ マノメータの$\rm{A-B}$面における圧力のつり合い式を記述せよ. $(4)$ 理論体積流量$Q$を求めよ.
$(1)$ \[A_1V_1=A_2V_2=Q\] $(2)$ \[\frac{p_1}{\rho_w}+\frac{v_1^2}{2}=\frac{p_2}{s_w}+\frac{V_2^2}{2}\] $(3)$ \[p_1+\rho_wgh=p_2=\rho_mgh\] $(4)$ \[ (2)より\hspace{10mm}p_1-p_2=\frac{\rho_w}{2}(V_2^2-V_1^2) \hspace{10mm}\cdots(2)'\\ (3)より\hspace{10mm}p_1-p_2=(\rho_2^2-\rho_1^2)gh \hspace{10mm}\cdots(3)' \] \[(2)',(3)'より\hspace {10mm}(\rho_m-\rho_w)gh=\frac{\rho_w}{2}(V_2^2-V_1^2)\] \[(1)より\hspace {10mm}V_1=V_2\frac{A_2}{A_1}だから\\ (\rho_m-\rho_w)gh=\frac{\rho_w}{2}(V_2^2-\frac{A_2^2}{A_1^2}V_2^2)\] \[V_2^2=\frac{1}{1-(\frac{A_2}{A_1})^2}2gh\frac{\rho_g-\rho_w}{\rho_w}\\ V_2=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{A_2}{A_1})^2}}\sqrt{2gh(\frac{\rho_m}{\rho_w}-1)}\] \begin{align} \therefore Q&=A_2V_2=題意 \end{align}