例題集

流体の動力学(7) 圧縮性流体の運動方程式

適用レベル   難易度: ★★★
流体の密度$\rho$,圧力$p$,流速$V$,位置ヘッド$z$,重力加速度$g$,比熱比$\kappa$として次の設問に答えよ. $(1)$ オイラーの運動方程式を記述せよ. $(2)$ 断熱変化に対する圧力$p$と密度$\rho$との関係式を記述せよ. $(3)$ オイラーの運動方程式において,気体の状態が断熱変化で定常流と考えられる場合について,圧縮性流体に関する運動方程式を求めよ.
$(1)$ \[\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}+\frac{1}{2}\frac{\partial (V^2)}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t}+g\frac{\partial z}{\partial s}=0\] $(2)$ \[pv^\kappa=Cより\] \[p(\frac{1}{\rho})^\kappa=C\] \[p\rho^{-\kappa}=C\] $(3)$ 定常だから \[\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}+\frac{1}{2}\frac{\partial (V^2)}{as}+g\frac{\partial z}{\partial s}=0\\ p\rho^{-\kappa}=Cより\\ \frac{1}{\rho}=C'p^{\frac{1}{\kappa}}\\ C'=\frac{p^{\frac{1}{\kappa}}}{\rho} \] \[\therefore C'\int{p^{-\frac{1}{\kappa}}}dp+\frac{1}{2}\int dV^2+g\int dz=C\] \[ C'\frac{1}{1+\frac{1}{\kappa}}p^{1+\frac{1}{\kappa}}+\frac{V^2}{2}+gz=C\\ C'\frac{\kappa}{\kappa+1}p^{\frac{\kappa+1}{\kappa}}+\frac{V^2}{2}+gz=C\\ \frac{p^{-\frac{1}{\kappa}}}{\rho}\frac{\kappa}{\kappa+1}p^{\frac{\kappa+1}{\kappa}}+\frac{V^2}{2}+gz=C\\ \frac{\kappa}{\kappa+1}\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=C\\ \]