定常解を$q_{s}$，過渡解を $q_{t}$ とおく。 定常解は，複素ベクトルを用いる。 \begin{eqnarray} I_{s}\left(R+\frac{1}{j\omega C}\right) = E \end{eqnarray} の関係から \begin{eqnarray} |I_{s}|=\frac{E}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}} \end{eqnarray} このとき，電流は電圧に対して， \begin{eqnarray} \phi = \tan^{-1}\frac{1}{\omega CR} \end{eqnarray} だけ位相が遅れる。 よって，電荷は， \begin{eqnarray} q_{s} &=& C\frac{1}{j\omega C}I_{s} = C\frac{1}{j\omega C}|I_{s}|\angle \phi\nonumber\\ &=& \frac{1}{\omega}|I_{s}|\angle \left(\phi-\frac{\pi}{2}\right)\nonumber\\ \end{eqnarray} よって，三角関数を用いると \begin{eqnarray} q_{s} &=& \frac{1}{\omega}\frac{E_{m}}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}\sin\left(\omega t +\phi -\frac{\pi}{2}\right)\nonumber\\ &=& -\frac{1}{\omega}\frac{E_{m}}{\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}\cos\left(\omega t +\phi\right)\nonumber\\ &=& -\frac{1}{\omega}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\omega }\right)^{2}}}\cos\left(\omega t +\phi\right) \end{eqnarray} 次に過渡解は， \begin{eqnarray} R\frac{dq_{t}}{dt} + \frac{q_{t}}{C} = 0 \end{eqnarray} から \begin{eqnarray} \frac{dq_{t}}{dt} = -\frac{1}{RC}q_{t}~~ \Rightarrow \frac{dq_{t}}{q_{t}} = -\frac{1}{RC} \end{eqnarray} 両辺を積分して \begin{eqnarray} \int\frac{dq_{t}}{q_{t}} = -\int\frac{1}{RC}~~ \Rightarrow \ln q_{t} = -\frac{1}{RC}t+k\nonumber\\~(kは積分定数) \end{eqnarray} よって \begin{eqnarray} q_{t} = e^{-\frac{1}{RC}t+k}=e^{k}e^{-\frac{1}{RC}t}=Ae^{-\frac{1}{RC}t} = Ae^{-t} \end{eqnarray} ただし，$A(=e^{k})$ は積分定数である。 よって，一般解は \begin{eqnarray} q=-\frac{1}{\omega}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\omega }\right)^{2}}}\cos\left(\omega t +\phi\right) + Ae^{-t}~ \end{eqnarray} となる。 次に初期条件 \begin{eqnarray} t=0 で q=0 \end{eqnarray} を代入する。 \begin{eqnarray} 0&=&-\frac{1}{\omega}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\omega }\right)^{2}}}\cos\left(\phi\right) + A\nonumber\\ A &=& \frac{1}{\omega}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\omega }\right)^{2}}}\cos\left(\phi\right) \end{eqnarray} よって， \begin{eqnarray} q &=& \frac{1}{\omega}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\omega }\right)^{2}}} \left(- \cos\left(\omega t +\phi\right)\right.\nonumber\\ &&\left. + \cos\left(\phi\right)e^{-t} \right) \end{eqnarray} ゆえに， \begin{eqnarray} i &=& \frac{dq}{dt}\nonumber\\ &=&\underline{ \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\omega }\right)^{2}}} \left(\sin\left(\omega t +\phi\right)-\frac{1}{\omega }\cos\left(\phi\right)e^{-t} \right)}\nonumber\\ \end{eqnarray} となる。また， \begin{eqnarray} \cos\left(\phi\right) = \frac{\omega }{\sqrt{1+(\omega )^{2}}} \end{eqnarray} となるので \begin{eqnarray} i &=& \underline{ \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\omega }\right)^{2}}} \left(\sin\left(\omega t +\phi\right) - \frac{1}{\sqrt{1+(\omega )^{2}}}e^{-t} \right)}\nonumber\\ \end{eqnarray} となる。