\begin{eqnarray} F(s)=\dfrac{4}{s^{2}(s+2)} = \frac{K_{1}}{s} + \frac{K_{2}}{s^{2}} + \frac{K_{3}}{s+2} \end{eqnarray} とおく。 \noindent (解法1) 通分すると \begin{eqnarray} F(s)&=&\dfrac{ K_{1}s(s+2) + K_{2}(s+2) + K_{3}s^{2} }{s^{2}(s+2)}\nonumber\\ &=& \frac{(K_{1}+K_{3})s^{2} + (2K_{1}+K_{2})s + 2K_{2} }{s^{2}(s+2)}\nonumber\\ \end{eqnarray} となる。よって， \begin{eqnarray} &&K_{1}+K_{3} = 0\\ &&2K_{1}+K_{2} = 0\\ &&2K_{2} = 4 \end{eqnarray} これらから \begin{eqnarray} K_{2} = 2,~~ K_{1} = -1,~~K_{3} = 1 \end{eqnarray} となる。よって， \begin{eqnarray} F(s)=\dfrac{1}{s^{2}(s+1)} = -\frac{1}{s} + \frac{2}{s^{2}} + \frac{1}{s+2} \end{eqnarray} となる。ラプラス逆変換を行うと \begin{eqnarray} {\cal L}^{-1}[F(s)] = \underline{-1 + 2t + e^{-2t}} \end{eqnarray} \noindent (解法2) $K_{1}$から $K_{3}$ は次のようになる。 \begin{eqnarray} &&\hspace{-8ex}K_{2} = \left.s^{2}F(s)\right|_{s=0} = \frac{4}{0+2} = 2\\ &&\hspace{-8ex}K_{3} = \left.(s+2)F(s)\right|_{s=-2} = \frac{4}{(-2)^{2}} = 1\\ &&\hspace{-8ex}K_{1} = \frac{d}{ds}\left.s^{2}F(s)\right|_{s=0} = \left.-\frac{4}{(s+2)^{2}}\right|_{s=0} = -1 \end{eqnarray} よって， \begin{eqnarray} F(s)=\dfrac{1}{s^{2}(s+1)} = -\frac{1}{s} + \frac{2}{s^{2}} + \frac{1}{s+2} \end{eqnarray} となる。ラプラス逆変換を行うと \begin{eqnarray} {\cal L}^{-1}[F(s)] = \underline{-1 + 2t + e^{-2t}} \end{eqnarray}