回路方程式は,
\begin{eqnarray}
L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i~ dt = V
\end{eqnarray}
となる\reff{ラプラス変換}{ラプラス変換}すると
\begin{eqnarray}
L(sI(s) - i(0)) + RI(s) + \frac{1}{sC}I(s) + \frac{q(0)}{sC}= \frac{V}{s}
\end{eqnarray}
となる。
コンデンサに初期電荷が存在しないため $q(0) = 0$,
初期電流はないので $i(0) = 0$ とおくと
\begin{eqnarray}
LsI(s) + RI(s) + \frac{1}{sC}I(s) = \frac{V}{s}
\end{eqnarray}
となる。各素子に値を代入すると
\begin{eqnarray}
I(s)s + 5I(s) + \frac{1}{0.25s}I(s) &=& \frac{6}{s}\nonumber\\
\left(s + 5 + \frac{4}{s}\right)I(s) &=& \frac{6}{s}\nonumber\\
I(s) &=& \frac{6}{s\left(s + 5 + \frac{4}{s}\right)}
\nonumber\\
I(s) &=& \frac{6}{s^{2} + 5s + 4}
\end{eqnarray}
となる。
\reff{部分分数分解}すると
\begin{eqnarray}
i(t) &=& {\cal L}^{-1}[I(s)]
= {\cal L}^{-1}\left[\frac{6}{s^{2} + 5s + 4}\right]\nonumber\\
&=&
{\cal
L}^{-1}\left[\frac{6}{\left(s+1\right)\left(s+4\right)}\right]\nonumber\\
&=&
{\cal L}^{-1}\left[\frac{2}{s+1} - \frac{2}{s+4}\right]
\end{eqnarray}
となる。よって,\reff{逆ラプラス変換}{ラプラス変換}すると
\begin{eqnarray}
\underline{i(t) = 2e^{-t} - 2 e^{-4t}}
\end{eqnarray}
となる。