$(1)$
\[\begin{align}
F_H=\rho g y_G A_H
&=1000 \times 9.8 \times(2+1.3) \times (2.6\times 1)\\
&=94084 \,\rm{N}
\end{align}\]
\[\begin{align}
F_V=\rho g V
&=1000 \times 9.8 \times\left\{(4+4.2) \times1\right\}\\
&=80360 \,\rm{ N}
\end{align}\]
全圧力の大きさは
\[\begin{align}
F&=\sqrt{{F_H}^2+{F_V}^2}\\
&=116.3\times10^3\ \rm{N}\\
&=116\ \,\rm{kN}
\end{align}\]
$(2)$
\[
\alpha=\tan^{-1}\frac{F_V}{F_H}=43.7^\circ
\]
(解説)
曲面に作用する全圧力
図を参考に,微小要素$dA$に働く全圧力は,
\[
dF=pdA
\]
全圧力$dF$を直交分解して考える.
\[\begin{align}
dF_x
&=dF\cos\theta\\
&=pdA\cos\theta\\
&=pdA_x\ \ \ \cdots(1)'
\end{align}\]
\[\begin{align}
dF_y
&=dF\sin\theta\\
&=pdA\sin\theta\\
&=pdA_y\ \ \ \cdots(2)'
\end{align}\]
ここで,$dA_x$は微小面積$dA$の$x$方向の投影面積,$dA_y$は微小面積$dA$の$y$方向の投影面積.
圧力$p=\rho gy$として,式$(1)'$,$(2)'$の両辺を積分して,
\[\begin{align}
F_x
&=\int_{A_x}pdA_x\\
&=\int_{A_x}\rho gydA_x\\
&=\rho g\int_{A_x}ydA_x\\
&=\rho g y_G A_x \ \ \ \cdots(3)'
\end{align}\]
図心の定義 $\ y_G=\frac{\int_{A_x} ydA_x}{A_x}$
\[\begin{align}
F_y
&=\int_{A_y}pdA_y\\
&=\int_{A_y}\rho gydA_y\\
&=\rho g\int_{A_y}ydA_y\\
&=\rho g \int^{x_2}_{x_1}y\cdot b(x)dx\\
&=\rho g V\ \ \ \cdots(4)'
\end{align}\]
ここで,$V$は曲面から水面までの容積である.
すなわち,$\rho gV$はゲート上の容積分の浮力,あるいは重力に等しい.
全圧力は \[
F=\left(F_x,F_y\right)
\]
Fの大きさは
\[
F=\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2}\\
\]
Fの方向は
\[
\theta=\tan^{-1}\frac{F_y}{F_x}\\
\]
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