適用レベル
難易度: ★★★
図のように直方体が水に浮かんでいる.
この浮揚体の比重を$s$として,安全性を調べたい.
次の問いに答えよ.
%=image:/media/2015/01/15/142125797922791000.png:
$(1)$
この浮揚体に働く力のつり合い式を立てて,喫水$d$が$d=hs$となることを導け.
ただし,水の密度$\rho _w$,重力加速度$g$とする.
$(2)$
浮力の中心Cと重心Gとの距離$\overline{CG}$を,$h$と$s$を用いて表現せよ.
$(3)$
メタセンタの高さ$\overline{GM}$を,$b$,$h$,$s$を用いて表現せよ.
ただし,$o-x$軸まわりの浮揚面($lb$面)まわりの断面$2$次モーメント$I$は,$I=lb^3/12$である.
$(4)$
浮揚体の比重$s=0.6$,寸法$l=10\,\rm{m}$,$b=6\,\rm{m}$,$h=3\,\rm{m}$として,この浮揚体の安定性を調べよ.
$(5)$
$o-x$軸まわりに$10^\circ$傾けたときの復元偶力$T$を求めよ.
$(1)$
重力と浮力のつり合いより,
\[
\rho_wsgbhl=\rho_wgbdl\\
sh=d\\
\therefore
d=hs
\]
$(2)$
\[\begin{align}
\overline{GC}
&=\frac{h}{2}-\frac{d}{2}\\
&=\frac{h}{2}-\frac{hs}{2}\\
&=\frac{h}{2}(1-s)
\end{align}\]
$(3)$
\[\begin{align}
\overline{GM}
&=\frac{I}{V'}-\overline{GC}\\
&=\frac{\frac{lb^3}{12}}{bdl}-\frac{h}{2}(1-s)\\
&=\frac{b^2}{12hs}-\frac{h}{2}(1-s)
\end{align}\]
$(4)$
\[\begin{align}
\overline{GM}
&=\frac{b^2}{12hs}-\frac{h}{2}(1-s)\\
&=\frac{6^2}{12\times 3\times0.6}-\frac{3}{2}(1-0.6)\\
&=1.0666\ldots
\end{align}\]
\[
\therefore
\overline{GM}>0より安定である
\]
$(5)$
\[\begin{align}
T&=W\overline{GM}\sin10^\circ\\
&=600\times (3\times 6 \times 10)\times 9.8 \times 1.0666 \times \sin10^\circ\\
&=196029\ldots\\
&=196\,\rm{kN}
\end{align}\]